a1,a2,....an,线性无关,而a1,a2,....an,b,r线性相关,所以有x1a1+x2a2+....xnan+xb+yr=0,若y=0,则x1a1+x2a2+....xnan+xb=0,说明a1,a2,....an,b线性相关,同理x=0,可得a1,a2,....an,r线性相关。若x,y都不为零,两边除以x可得-b=(x1/x)a1+(x2/x)a2+...+(xn/x)an+(y/x)r,这表示b可以用a1,a2,....an,r.表示。若除以y可证明r可以用a1,a2,....an,b表示。这就说明a1,a2,....an,b与a1,a2,....an,r等价.综合可得命题得证。
当A和B为同型矩阵,且r(A)=r(B)时,A,B一定等价。
(1)矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。
(2)当且仅当它们具有相同的秩时,两个矩阵是等价的。1
其中对角线上的1的数目等于k。这是史密斯正则形式的一个特例,它将这个概念概括在向量空间上。
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