仿射空间

定义

仿射空间是点和向量的集合2，它的定义是：

（1）设A为一个点集，A中任意两个有序点P、Q对应于n维矢量空间中的一个矢量a；

（2）设P、Q、R为A中任意三点，P、Q对应于矢量a，Q、R对应于矢量b，则P、R对应于矢量a+b。

具有上面两个性质的点集A就叫做一个仿射空间。

非正式描述

仿射空间是没有起点只有方向与大小的向量所构成的线性空间。假设有甲乙两人，其中甲知道一个空间中真正的原点，但是乙认为另一个点p才是原点。现求两个向量a和b的和。乙画出 p到a和 p 到b 的箭头， 然后用平行四边形找到他认为的向量 a + b。但是甲认为乙画出的是向量p+(a − p) + (b − p)。同样的，甲和乙可以计算向量a和b的线性组合，通常情况下他们会得到不同的结果。

然而，请注意：

如果线性组合系数的和为1，那么甲和乙将得到同样的结果！仿射空间就是这样产生的：甲知道空间的"线性结构"。但是甲和乙都知道空间的"仿射结构"，即他们都知道空间中仿射组合的值，其中仿射组合的定义为系数和为1的线性组合。

具有仿射结构的集合就是一个仿射空间1。

概念理解

从基本数学概念上来说，一个坐标系对应了一个仿射空间 (Affine Space)，当矢量从一个坐标系变换到另一个坐标系时要进行线性变换 (Linear Transformation)。对点来说， 要进行仿射变换 (Affine Transformation)。这就是我们利用同源坐标的理由。它能在对矢量进行线性变换的同时对点进行仿射变换。坐标变换的基本操作就是将变换矩阵乘以矢量或点。