复球面

定义

复数还有一种几何表示法，它是借用地图制图学中将地球投影到平面上的测地投影法，建立复平面与球面上的点的对应，着重说明引入无穷远点的合理性。

取一个在原点O与z平面相切的球面，通过O点作一垂直于z平面的直线与球面交于N点，称为北极，O称为南极，如图1所示。用直线段将N与z平面上一点z相连，此线段交球面于一点P(z)，这样就建立起球面上的点(不包括北极点N)与复平面上的点间的一一对应。

考虑z平面上一个以原点为中心的圆周C，在球面上对应的也是一个圆周(即是纬线)，当圆周C的半径越大时，圆周就越趋于北极N。因此北极N可以看成是与z平面上的一个模为无穷大的假想点相对应，这个假想点称为无穷远点(infinite—point)，并记为．复平面加上点后称为扩充复平面(extended complex plane)，与它对应的就是整个球面，称为复球面(complexsphere)．简单说来，扩充复平面的一个几何模型就是复球面。

关于新“数”还需作如下几点规定：

(1)运算无意义；

(2)时，；

(3)(但可为)时，；

(4)的实部、虚部及幅角都无意义；

(5)复平面上每一条直线都通过点．1

扩充复平面上的几个概念

(1)在扩充复平面上，无穷远点的邻域应理解为以原点为心的某圆周的外部，即的邻域，是指适合于条件的点集．对比开集及边界的定义，在扩充复平面上，内点和边界点等概念均可以推广到点．于是，复平面以为其唯一的边界点；扩充复平面以为内点，且它是唯一的无边界的区域．

(2)单连通的概念也可推广到扩充复平面上的区域上．对扩充复平面上的区域D，关于单连通的概念可不加更改地移到这里来。但要注意，D内的简单闭曲线在D内连续收缩于一点，这个点既可能是有限点，也可能是点；而所谓r能连续收缩到点，实际上就是，逐渐扩大而最后落入点的任意小的邻域中，亦即落入以原点为中心，任意大为半径的圆周外部。

初看起来，这种收缩于点的说法好像很不自然，它与收缩于一有限点似乎极不相似，但如果放在复球面上来考虑，问题就很清楚了；所谓在扩充复平面上，收缩于一点，也就是它在复球面上的对应曲线收缩于在复球面上的对应点；也可能是北极点(对应于)，也可能不是北极点(对应于)。这样就可立刻看出，这两种情况算没有本质的区别。

注意，在扩充复平面上，一个圆周的外部(这里把算作这个区域的内点)就是一个单连通区域。所以，一个无界区域，考虑它是否单连通，首先要考虑是在通常的复平面上还是在扩充复平面上讲的(当在扩充复平面上时，还要问是否算在这个区域内)。

如在无界区域的边界上，也就是区域的边界曲线延伸到，则不论在通常复平面上，还是在扩充复平面上，区域是否为单连通必定是一致的。

(3)在扩充复平面上，点可以包含在函数的定义域中，函数值也可取到。因此，极限及连续性的概念也可以有所推广。在关系式

中，如果及之一或者它们同时取，就称为广义连续的。在这种广义的意义下，连续性的说法要相应修改。例如，在时，在连续的说法应该修改为：任给，存在，只要时，就有