科普中国-万有引力定律

引力是四种基本相互作用之一，重力一般指的是地球的引力，或者天体对其表面物体的引力。

地球的引力垂直指向地心。在地球表面，重力方向可以认为是竖直向下。地球表面的重力加速度约为，在地球的不同位置这个值略有不同。

万有引力公式最早由艾萨克·牛顿（IssacNewton）提出。阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）于1915年提出广义相对论，将引力描述为时空曲率。

研究历史

早期认识

古希腊哲学家亚里士多德认为地球是宇宙的中心，将宇宙中所有质量都吸引向它。他还认为物体下落的速度随着其质量的增加而增加，这种观点是错误的3。古希腊的很多其他科学家，如普鲁塔克，正确地认识到引力不是地球独有的4。

阿基米德发现了三角形的重心，但他不把引力解释成一种力5。公元前6世纪，拜占庭亚历山大学者约翰·菲罗波努斯（John Philoponus）提出了动力理论，修改了亚里士多德的理论6。

公元7世纪，印度数学家和天文学家婆罗摩笈多提出引力是一种将物体吸引到地球的吸引力的观点7。约两世纪后，波斯的比鲁尼（Al-Biruni）认为引力并不是地球独有的，其它天体也应该有引力8。

科学革命

在16世纪中叶，许多欧洲科学家通过实验反驳了亚里士多德的观点。西班牙多米尼加牧师多明戈·德·索托（Domingo de Soto）在1551年写道，自由落体的物体均匀加速9。意大利物理学家詹巴蒂斯塔·贝内德蒂（Giambattista Benedetti）在论文中称：由于比重，由相同材料制成但质量不同的物体会以相同的速度下落10。在1586年的代尔夫特塔实验中，佛兰德物理学家西蒙·史蒂文（Simon Stevin）观察到，当炮弹从塔上下落时，两枚大小和重量不同的炮弹以相同的速度下落11。在16世纪后期，伽利略·伽利莱（Galileo Galilei）对从斜坡上滚动的球的仔细测量中发现：所有物体的引力加速度是相同的12。

1604年，伽利略正确地假设了下落物体的距离与所经过的时间的平方成正比13。1640年至1650年间，意大利科学家弗朗切斯科·马丽亚·格里马尔迪（Francesco Maria Grimaldi）和乔瓦尼·巴蒂斯塔·里乔利（Giovanni Battista Riccioli）证实。他们通过测量钟摆的震荡计算了地球引力的大小14。

牛顿万有引力定律

1657 年，罗伯特·胡克出版了《显微图谱》，他在书中假设月球一定有自己的引力15。1666 年，他又补充了两条原理：所有物体都沿直线运动，除非受到某种力的作用而发生偏转；物体之间靠的越近，吸引力也就越大。1666 年，胡克在写给皇家学会的一封信中写道16：

我将解释一个与迄今所接受的世界体系截然不同的世界体系。它建立在以下立场之上。1. 所有天体不仅有引力将各部分引向它们自己的中心，而且它们还在各自的作用范围内相互吸引。2. 所有做简单运动的物体都会继续沿直线运动，除非受到某种外力不断偏离直线，导致它们画出圆、椭圆或其他曲线。3. 物体之间的距离越近，这种吸引力就越大。至于这些力随着距离的增加而减小的比例，我承认我还没有发现……

胡克在 1674 年的格雷欣演讲《证明地球周年运动的尝试》中解释说，引力适用于“所有天体”17。

1684 年，牛顿将一份题为《论物体在轨道上的运动》的手稿寄给了埃德蒙·哈雷，这份手稿为开普勒的行星运动定律提供了物理依据18。几年后，牛顿出版了《自然哲学的数学原理》。在这本书中，牛顿将引力描述为一种宇宙力，并声称“使行星保持在轨道上的力必定与它们到其绕转中心的距离的平方成反比”。这句话后来被浓缩为下面的平方反比定律：

（1）

其中是力，是相互作用物体的质量，是万有引力常数， 是引力相互作用物体之间的距离18。

1798年英国物理学家亨利·卡文迪许（Henry Cavendish）测定了引力常数

1821年，法国天文学家亚历克西斯·布瓦尔 (Alexis Bouvard)利用牛顿万有引力定律创建了一个天王星轨道模型，结果显示该模型与天王星的实际轨迹有很大差异。因此，许多天文学家推测天王星轨道之外可能有一个天体对它施加了力的作用。1846 年，天文学家约翰·库奇·亚当斯 (John Couch Adams)和于尔班·勒威耶 (Urbain Le Verrier)分别利用牛顿定律预测了海王星在夜空中的位置，并在一天之内发现了这颗行星19。

广义相对论

天文学家注意到水星轨道存在一个无法用牛顿理论解释的偏心率：轨道近日点每世纪增加约。最初，天文学家认为可能存在一个还没有被发现的天体，例如比水星更靠近太阳的行星，但所有努力都无济于事。1915 年，阿尔伯特·爱因斯坦发展了广义相对论，精确地解释了水星轨道的进动20。

在广义相对论中，时空曲率与物体运动相关。爱因斯坦开始以等效原理的形式研究这个想法，他后来将这一发现描述为“我一生中最快乐的想法”。在该理论中，自由落体被认为等同于惯性运动，这意味着自由落体的惯性物体相对于地面上的非惯性观察者会加速21。与牛顿物理学相反，爱因斯坦认为这种加速可以在不向物体施加任何力的情况下发生。

爱因斯坦认为时空被物质弯曲，自由落体的物体在弯曲的时空中沿着局部直线路径运动。这些直线路径称为测地线。爱因斯坦认为施加在物体上的力会导致其偏离测地线。

理论

牛顿万有引力定律

牛顿万有引力定律是

（2）

其中是力，是相互作用物体的质量， 是万有引力常数（已修改）， 是引力相互作用物体之间的距离

超距作用

牛顿提出万有引力定律后，对于他的方程所暗示的“超距作用”的概念深感不安。1692年，牛顿在写给本特利的第三封信中写道21：

一个物体可以通过真空在远处作用于另一个物体，而无需任何其他的传递力和相互作用的媒介，在我看来，这是非常荒谬的。我相信，在哲学问题上具有称职的思维能力的人永远不会陷入其中。

因此，用牛顿的话来说，他从来没有“指定这种力量的原因”，他还拒绝提供关于这种力量的原因的假设。在牛顿的《自然哲学的数学原理中》，他写道21：

我还没有能够从现象中发现引力的这些特性的原因，我没有假装任何假设……只要引力确实存在，并根据我所解释的定律发挥作用，就足够了，而且它充分地解释了天体的所有运动。

与牛顿理论不符的观测结果

1.牛顿的理论不能完全解释行星轨道的近日点岁差，尤其是水星轨道。水星进动的观测结果与牛顿的理论预言存在着每世纪43角秒的差距。

2.使用牛顿理论预测的光线在重力场中角度的偏转仅为实际观测的一半。

测地线方程

考虑只受引力场作用的一个粒子。根据等效原理，存在一个坐标系，粒子在这个坐标系中运动方程是时空中的一条直线，即

（3）

其中参数可以是固有时，对于零质量粒子，如光子，参数通常取。自由降落坐标是的函数。根据上式，经过具体计算可以得到测地线方程

（4）

爱因斯坦场方程

引力的作用量是(5)

其中曲率标量，是Ricci曲率张量，。对上述作用量变分，可以得到爱因斯坦场方程

(6)

爱因斯坦场方程中还可以引入一个常数项，一般写成

(7)

这个方程左边表示了时空的几何性质，右边表示的是时空中物质的运动。

引力场一般运动方程

以下讨论应用广义相对论理论。我们考虑一个在各向同性引力场中自由下落的质点或光子，度规的一般形式是

（8）

其中是任意函数，根据实际问题选取。代入测地线方程(4)，经过计算，我们可以得到在引力场中一般运动方程是

（9）

（10）

（11）

其中常数分别表示能量和角动量。

引力常量的测定

牛顿在推出万有引力定律时，没能得出引力常量G的具体值。G的数值于1798年由卡文迪什利用他所发明的扭秤得出。2卡文迪什的扭秤试验，不仅以实践证明了万有引力定律，同时也让此定律有了更广泛的使用价值。

扭秤的基本原理是在一根刚性杆的两端连结相距一定高度的两个相同质量的重物，通过秤杆的中心用一扭丝悬挂起来。秤杆可以绕扭丝自由转动，当重力场不均匀时，两个质量所受的重力不平行。这个方向上的微小差别在两个质量上引起小的水平分力，并产生一个力矩使悬挂系统绕扭丝转动，直到与扭丝的扭矩平衡为止。扭丝上的小镜将光线反射到记录相板上。当扭丝转动时，光线在相板上移动的距离标志着扭转角的大小。平衡位置与扭秤常数和重力位二次导数有关。在一个测点上至少观测3个方位，确定4个二次导数值，测量精度一般达几厄缶。

根据扭力系统的构造形状，分为z型、L型和斜臂式扭秤。z型扭秤由一个轻金属制成的z型秤臂、两个质量相等的重荷和一根细金属丝组成的。两个重荷分别固定在z型秤臂的两端。细金属丝将整个系统悬挂起来，组成一套扭力系统。由于两个重荷处于不同的位置，所以，当通过两个重荷的重力等位面Q₁和Q₂。互不平行或弯曲时，两个重荷将受到重力场水平分量的作用。当重力场水平分量gH₁和gH₂的大小和方向不同时，秆臂就要绕着扭丝转动，直到水平旋转的重力矩和扭丝的扭力矩相平衡为止。秤臂偏转的角度除和扭力系统的构造和扭丝的扭力系数有关外，还和两个重荷间的重力变化有关。因此，准确记录扭力系统的偏角，就可以求出重力位的二次导数。由于扭力系统的灵敏度很高，秤臂稳定下来的时间较长。同时还需要在3～5个方向上照相记录，所以，仪器附有自动控制系统，并安放在特制的小房里工作。仪器的操作和测量结果的计算都比较烦琐，每测—个点需要2～3小时，工件效率较低。

扭秤的测量结果用矢量图表示，用一短线表示曲率，矢量方向相应于最小曲率平面的方位，矢量长度表示等位面曲率差大小 。在短线中心以箭头画出总梯度，指向重力增加的方向。

扭秤的灵敏度很高并可测多个参数，但是也有其不足之处。由于具有极高的灵敏度，对于测试环境的要求也很高，易受外界干扰，包括温度、地面震动、大气压强波动、扭丝的滞弹性效应等。因此对于精度要求不高的重力测量工作，一般都是重力仪去完成。但是对于高精度的测量，如引力物理方面的测量，以及高精度仪器的验证以及标定，都需要利用扭秤来完成。因此即便是如今，扭秤在实验物理领域也有着相当重要的地位。

卡文迪什测出的G=6.67×10⁻¹¹N·m²/kg² ，与现在的公认值6.67×10⁻¹¹N·m²/kg²极为接近；直到1969年G的测量精度还保持在卡文迪什的水平上。

广义相对论的检验

爱因斯坦与1916年提出了广义相对论的三个检验实验，这被称为广义相对论的“经典测试”22：

1. 水星轨道近日点的进动

2. 太阳对光线的偏转

3. 光的引力红移

水星近日点进动

根据牛顿动力学，两个天体在相互引力下的运动轨迹是椭圆，系统的质心位于椭圆的焦点上。牛顿动力学中，上述两个天体的运动应该是周期性的。但是1895年，乌尔班·让·约瑟夫·勒维里尔（Urbain Le Verrier）研究了1697年至1848年水星凌日的观测结果发现，实际的岁差与牛顿理论预测的值相比，每世纪差。1882年，西蒙·纽科姆（Simon Newcomb）重新估计这个值为。23

根据物体在引力场中的运动方程(9)(10)(11)，经过一系列计算得到，广义相对论预言的进动是

（12）

广义相对论预言：水星每世纪的进动角度约为，这与实验值符合的很好。

太阳对光线的偏移

根据光在引力场中的运动方程(9)(10)(11)，经过一系列计算得到，从非常远处经过太阳的光线应该向太阳偏折。

对光线的偏折的第一次观测是测量的是恒星在天球上经过太阳附近时位置的变化，这是在1919年5月29日全日食时亚瑟·爱丁顿（Arthur Eddington）和他的合作者进行的24。不过这个实验的数据与爱因斯坦的理论符合的不是很好。不过后来科学家们又对太阳光线的偏移进行了多次测量，又证实了爱因斯坦的理论。

光的引力红移

在史瓦西度规中，对于无穷远处的观察着，光的引力红移是

（13）

其中分别是无穷远处的观察者测得的光的波长和发射源处光的波长，是发射源的半径，是史瓦西半径。

波普尔于1954年首次测量了白矮星40 Eridani B的引力红移，测量结果为25。

应用

超重与失重

当我们主要研究在重力作用下物体的运动时，超重是物体所受弹力（拉力或支持力）大于物体所受重力的现象。当物体做向上加速运动或向下减速运动时，物体均处于超重状态。超重现象在发射航天器时更是常见，所有航天器及其中的宇航员在刚开始加速上升的阶段都处于超重状态。相反，物体受到的弹力小于物体所受重力的现象被称为失重。

航天器在发射和返回的过程中，由于加速度的关系，出现了超重现象。通常采用值的方法来表示。如果一个