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流体流动出现内部间断（如激波）时，此处微分方程失去了意义，需要用间断面两侧各力学量之间物理上存在的关系，即Rankine-Hugoniot条件作为特殊的边界条件，称为跳跃条件。它作为流动的内边界条件并保证解的唯一性所必须。

简介

Rankine-Hugoniot条件

Rankine-Hugoniot条件，也称为Rankine-Hugoniot跳跃条件或Rankine-Hugoniot关系，描述了流体中一维流动中冲击波两侧的状态与固体中的一维变形之间的关系。他们被认定为苏格兰工程师和物理学家威廉·约翰·麦克康兰金和法国工程师皮埃尔·亨利·胡戈尼奥（Pierre Henri Hugoniot）所开展的工作。另见Salas（2006）有一些历史背景。1

在与激波7相关的坐标系中，兰金 - 胡格诺维尔条件可以表示为：

$p_2u_2%3D%5Crho_1u_s%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cmu%5E2_2%2Be_2-e_1%5Cright%29$ 这里是冲击波速度，ρ1和ρ2是冲击后面和内部的流体的质量密度，u2是冲击内流体的粒子速度，p1和p2是两个区域中的压力，e1和 e2是两个区域的特定（每单位质量的感觉）内部能量。这些等式可以从下面的等式（12），（13）和（14）中直接导出。使用兰金 - 胡戈尼奥方程来保存质量和动量以消除我们和u2，能量守恒方程可以表示为Hugoniot方程：

$e_2-e_1%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%28p_2%2Bp_1%5Cright%29%5Cleft%28v_1-v_2%5Cright%29$ 其中v1和v2分别是每单位质量的未压缩和压缩的特定体积。

基础：一维欧拉方程

考虑一维容器（例如，长细管）中的气体。假设流体是非粘性的（即，其不显示粘度效应，例如与管壁摩擦）。2 此外，假设没有传导或辐射的热传递，并且可以忽略重力加速度。这样一个系统可以通过以下的守恒定律来描述，称为1D欧拉方程，其保护形式是：

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Crho%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cleft%28%5Crho%20u%5Cright%29$

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%5Cleft%28cu%5Cright%29%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cleft%28%5Crho%20u%5E2%2Bp%5Cright%29$

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%5Cleft%28E%5Et%5Cright%29%3D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%5Cleft%5Bu%5Cleft%28E%5Et%2Bp%5Cright%29%5Cright%5D$

在这里，ρ是流体质量密度[kg / m3]

u 是流体速度[m / s]

e 是流体的特定内部能量，[J / kg]

p是流体压力，[Pa]

t是时间，[s]

x是距离，[m]

是流体的总能量密度[J / m3]，而e是其特定内部能量[焦耳/千克]。

进一步假设气体是热量理想的，因此是简单形式的多变方程状态。3

是有效的，其中是比热的恒定比例。该数量也表现为多变指数。

$%5Cfrac%7Bp%7D%7B%5Crho%5E%7B%5Cgamma%7D%7D%3Dconstant$

关于可压缩流动方程的广泛列表等，请参阅NACA报告1135（1953）。

注意：对于热量理想的气体γ是一个常数，对于热理想气体γ是温度的函数。在后一种情况下，压力对质量密度和内部能量的依赖性可能与等式给出的不同。

跳跃条件

在继续进行之前，有必要引入跳跃条件的概念 - 这种条件是不连续或突然变化的。4

考虑一维情况，其中标量保守的物理量w跳跃，由积分守恒定律

$%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%5Cint_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7Dwdx%3Df%5Cleft%28x_1%5Cright%29-f%5Cleft%28x_2%5Cright%29$ 对于x1，x2，因为x1<x2，所以通过偏微分方程

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20w%7D%7B%5Cpartial%20t%7D%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7Df%5Cleft%28w%5Cright%29%3D0$

就能够顺利解决。

让解决方案在上展现跳跃（或冲击），其中和，然后

$%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdt%7D%5Cleft%5B%5Cleft%28%5Cint_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_s%5Cleft%28t%5Cright%29%7Dwdx%2B%5Cint_%7Bx_s%5Cleft%28t%5Cright%29%7D%5E%7Bx_2%7Dwdx%5Cright%29%5Cright%5D%3D-%5Cint_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7Df%5Cleft%28w%5Cright%29dx$

下标1和2分别表示上游和刚刚下游的条件。

上述方程式表示守恒定律的跳跃条件。在其特征相交的系统中出现冲击情况，在这些条件下，对于唯一的单值解决方案的要求是解决方案应满足可接受性条件或熵条件。对于物理实际应用，这意味着该解决方案应满足Lax熵条件。

冲击Hugoniot和瑞利线固体

对于固体中的冲击，不能从第一原理得出闭合形式表达式。相反，实验观察表明，可以使用线性关系（称为休克Hugoniot在我们的平面），具有形式

其中c0是材料中的体声速度（单轴压缩），s是从拟合到实验数据获得的参数（冲击Hugoniot的斜率），up = u2是压缩区域后面的粒子速度5

当与质量和动量守恒的Hugoniot方程组合时，上述关系可用于确定p-v平面中的冲击Hugoniot，其中v是比体积（单位质量）：

$p_2-p_1%3D%5Cfrac%7Bc%5E2_0%5Crho_1%5Crho_2%5Cleft%28%5Crho_2-%5Crho_1%5Cright%29%7D%7B%5Cleft%5B%5Crho_2-s%5Cleft%28%5Crho_2-%5Crho_1%5Cright%29%5Cright%5D%5E2%7D%3D%5Cfrac%7Bc%5E2_0%5Cleft%28v_1-v_2%5Cright%29%7D%7B%5Cleft%5Bv_1-s%5Cleft%28v_1-v_2%5Cright%29%5Cright%5D%5E2%7D$

还可以使用状态的替代方程，例如Mie-Gruneisen状态方程，而不是上述等式。

冲击Hugoniot描述了所有可能的热力学状态的轨迹，材料可以存在于冲击后面，投影到二维状态平面上。因此，它是一组平衡状态，并没有具体表示材料经历转化的路径。

弱冲击是等熵的，等熵表示通过具有会聚特性的压缩波将材料从初始状态加载到最终状态的路径。在冲击较弱的情况下，Hugoniot因此将直接落在等熵上，可直接用作等效路径。在强烈的冲击的情况下，我们不能再直接做出这种简化。然而，对于工程计算，可以认为等熵足够接近Hugoniot，可以做出相同的假设。

如果Hugoniot大约是“等效”压缩波状态之间的加载路径，则冲击加载路径的跳转条件可以通过绘制初始状态和最终状态之间的直线来确定。该线称为瑞利线，具有以下等式：

$p_2-p_1%3Du%5E2_s%5Cleft%28%5Crho_1-%5Cfrac%7B%5Crho_1%5E2%7D%7B%5Crho_2%7D%5Cright%29$

Hugoniot弹性极限

大多数固体材料经受强烈冲击时的塑性变形。材料从纯弹性状态转变为弹性塑性状态的休克Hugoniot点被称为Hugoniot弹性极限（HEL），该转变发生的压力称为pHEL。 pHEL值可以在0.2GPa到20GPa之间。在HEL之上，材料的剪切强度大部分损失，开始表现得像流体。6