科普中国-高斯-卢卡斯定理

高斯-卢卡斯定理，又称卢卡斯定理，该定理描述了复系数多项式的一个性质：多项式导数的根一定在原多项式的根所构成的凸包内。

这一结论曾在1836被Carl Friedrich Gauss直接使用，1874 得到证明。

动机

我们注意到，二次多项式 的导数的根为原多项式的两个根的平均数。

同样地，如果一个次多项式有个两两不同的实值零点，根据罗尔定理，其导数的每个零点都位于区间之中。

高斯-卢卡斯定理可以看成这一性质在复系数多项式上的推广。

表述

设 是一个非常数的复系数多项式，那么所有的根属于的根构成的凸包。1

证明

设，容易验证

假设且点ω不属于点的凸包。这时过点ω可作不穿过点的凸包的直线。因而向量位于这直线所分出的一个半平面内。所以向量位于一个半平面内，因,从而。得出结论，因此ω属于多项式的诸根的凸包。1