科普中国-依分布收敛

依分布收敛是随机变量列的一种收敛性，设{ξn，n≥1}是概率空间(Ω，F，P)上的随机变量列，其相应的分布函数列为{Fn(x)，n≥1}，如果Fn(x)弱收敛于随机变量ξ的分布函数F(x)，则称随机变量列ξn依分布收敛到随机变量ξ。1

定义

定义1

(Ω,,P)是概率空间，{Xn}是随机变量序列，{Fn(x)}是其对应的分布函数序列;X是随机变量，F(x)是其对应的分布函数，如果在F(x)的每一个连续点处，均有

则称分布函数列{Fn(x)}完全（强）收敛于分布函数F(x),对应地，称随机变量序列{Xn}依分布收敛于随机变量X,记为。4

定义2

弱收敛 设 是一个分布函数列，如果存在一个分布函数 ，使得在 的每一个连续点上有

成立，则称弱收敛于，并记为

依分布收敛 设为随机变量序列，是对应的分布函数列，如果存在一个具有分布函数的随机变量，使得则称依分布收敛于，并记作。

我们必须指出，只有分布函数序列收敛到一个分布函数时，我们才说它是依分布收敛的，这一说明是必要的，因为分布函数序列可能收敛到一个函数，而这个函数不一定是一个分布函数。3

实例分析

例1 (均匀样本的最大值) 设 是独立同分布的随机变量，且都服从(0，1)区间上的均匀分布，令 问 是否依分布收敛、收敛于什么?

分析： 我们估计当 时 趋于1，事实上，由于 恒小于1，所以对任意 都有

又因为 独立同分布，所以

当 时趋于0，故 依概率收敛于1，然而，若令 ，则有

上式整理得

这就说明随机变量 依分布收敛于某参数为1的指数型随机变量。

注意，尽管我们定义的是随机变量序列依分布收敛，其实质却是累积分布函数而非随机变量的收敛性，因此依分布收敛与依概率收敛、殆必收敛有着本质区别，不过，另两种收敛都分别蕴含依分布收敛。2

例2 考虑具有退化分布的随机变量序列 若它的分布列为 这时 ，显然，对任意的x∈R，有

这表明序列 不收敛到一个分布函数。3

相关定理

定理1

如果随机变量序列 依概率收敛于随机变量X，则该序列也依分布收敛于X。2

定理2

随机变量序列 依概率收敛于常数 当且仅当该序列依分布收敛于 ，即，2

等价于