伽马分布

伽玛分布（Gamma Distribution）是统计学的一种连续概率函数，是概率统计中一种非常重要的分布。“指数分布”和“χ2分布”都是伽马分布的特例。1

Gamma分布中的参数α称为形状参数（shape parameter），主要决定了分布曲线的形状;β称为反尺度参数（inverse scale parameter），主要决定曲线有多陡。1

定义与概念

假设随机变量X为等到第α件事发生所需之等候时间，且每个事件之间的等待时间是互相独立的，α为事件发生的次数，β代表事件发生一次的概率，那么这α个事件的时间之和服从伽马分布，其概率密度函数为3

特征函数为

均值与方差

伽马分布的均值与方差分别为

变化趋势

伽马分布的概率密度函数和失效率函数取决于形状参数的数值。

当时，为严格下降函数，且在x=0处有奇异点；

当时，为严格下降函数；

当时，为单峰函数；2

伽马分布的特性

Gamma的可加性

两个独立随机变量X和Y，且X~Ga(a,γ)，Y~Ga(b,γ)，则Z = X+Y ~ Ga(a+b,γ)。即两个尺度参数相同的独立的伽马分布之和仍满足伽马分布，其尺度参数不变，而形状参数相加

Gamma分布的特殊形式

当形状参数α=1时，伽马分布就是参数为γ的指数分布，X~Exp（γ）

当α=n/2，β=1/2时，伽马分布就是自由度为n的卡方分布，X^2(n)