科普中国-埃尔米特插值公式

埃尔米特插值公式（*Hermite interpolation formina ）*是区域上解析函数的拉格朗日插值多项式的积分表示式。

不少实际的插值问题不但要求在节点上的函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等,满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式。

内容简介

埃尔米特插值是另一类插值问题，这类插值在给定的节点处，不但要求插值多项式的函数值与原函数值相同。同时还要求在节点处，插值多项式的一阶直至指定阶的导数值，也与被插函数的相应阶导数值相等，这样的插值称为埃尔米特(Hermite)插值。 Hermite插值在不同的节点，提出的差值条件个数可以不同，若在某节点 ，要求插值函数多项式的函数值，一阶导数值，直至 阶导数值均与被插函数的函数值相同及相应的导数值相等。我们称 为 重插值点节，因此，Hermite插值应给出两组数，一组为插值点 节点，另一组为相应的重数标号 。

若 ，这就说明了给出的插值条件有 个，为了保证插值多项式的存在唯一性，这时的Hermite插值多项式应在 上求得，于是可作如下定义。

定义

已知函数y=f(x)在区间[a, b]上n+1个互异插值节点处的函数值为，导数值为（注意：函数值个数与导数值个数相同），现要求做一个次数不超过2n+1次的多项式，使其满足下述 2n+2个插值条件

这个多项式称为埃尔米特插值多项式。3

二重Hermite插值多项式

常用的Hermite插值为mi=2 的情况，即给定的插值节点{xi}i=0均为二重节点，更具体些，，及插值节点{xi}i=0，若有 满足

，就称H**2n+ 1(x)为f(x) 关于节点{xi}i=0的二重Hermite插值多项式1。

唯一性定理

f(x)关于节点{xi}i=0的二重Hermite插值多项式存在且唯一。

误差定理

若，则为f(x)关于上节点{xi}i=0的二重Hermite插值多项式误差为

这里2